Question

已知双曲线的两个焦点F₁（-

5

，0），F₂（

5

，0），M为双曲线上一点，且

MF1

•

MF2

=0，

|MF1|

•

|MF2|

=2．
（Ⅰ）求此双曲线的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，

2

）的直线与双曲线左支交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点Q（0，b），求b的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设

|MF1|

=m，|MF₂|=n，则

mn=2 m2+n2=20

，2a=|m-n|=

20-4

=4，进而可知a的值，求得b，双曲线方程可得．
（Ⅱ）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据判别式和韦达定理求得k的范围．求得y_A+y_B的表达式，则AB的中点P的坐标可得，设出直线l₀的方程，将P点坐标代入直线l₀的方程求得b和k的关系是，进而根据k的范围确定b的范围．

解答： 解：（Ⅰ）设

|MF1|

=m，|MF₂|=n，则

mn=2 m2+n2=20

，
∴2a=|m-n|=

20-4

=4，
∴a=2，
∴b=

5-4

=1，
∴双曲线的方程为

x2

4

-y2=1；
（Ⅱ）设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），
将y=kx+

2

代入

x2

4

-y2=1，
得（1-4k²）x²-8

2

kx-12=0．
由题意知△=72k²+48（1-4k²）＞0，x_A+x_B=

8 2 k

1-4k2

＜0，x_Ax_B=

-12

1-4k2

＞0，
解得

1

2

＜k＜

10

5

．
y_A+y_B=（kx_A+

2

）+（kx_B+

2

）
=k（x_A+x_B）+2

2

=

2 2

1-4k2

，
∴AB的中点P的坐标为（

4 2 k

1-4k2

，

2

1-4k2

）．
设直线l₀的方程为：y=-

1

k

x+b，
将P点坐标代入直线l₀的方程，得b=

5 2

1-4k2

．
∵

1

2

＜k＜

10

5

，∴-

3

5

＜1-4k²＜0，
∴b＜-

25 2

3

．
∴b的取值范围为（-∞，-

25 2

3

）．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程以及直线与双曲线的关系．考查了学生综合分析问题和运算的能力．