Question

已知

a

=（

3

sinωx，1），

b

=（cosωx，0）ω＞0，又函数f（x）=

b

•（

a

-k

b

）是以

π

2

为最小正周期的周期函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最大值为

1

2

，则是否存在实数t，使得函数f（x）的图象能由函数g（x）=t

a

•

b

的图象经过平移得到？若能，求出实数t，并说明如何平移，若不能，说明理由．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）首先利用向量的数量积运算得到f（x） 解析式，然后变形，利用其周期得到ω的值，从而得到值域；
（2）首先得到g（x）的解析式，然后观察与f（x）的关系，分析是否存在t．

解答： 解：（1）

a

=（

3

sinωx，1），

b

=（cosωx，0）ω＞0，又函数f（x）=

b

•（

a

-k

b

）=

3

cosωxsinωx-kcos²ωx=

3

2

sin2ωx-

k

2

cos2ωx-

k

2

．
又函数是以

π

2

为最小正周期的周期函数，所以ω=2，
所以f（x）=

3

2

sin4x-

k

2

cos4x-

k

2

，
所以f（x）的值域为[-

3+k2 +k

2

，

3+k2 -k

2

]；
（2）若函数f（x）的最大值为

1

2

，即

3+k2 -k

2

=

1

2

，解得k=1，所以f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

，
g（x）=t

a

•

b

=

3

tsinωxcosωx=

3

2

tsin4x，
所以当t=

2 3

3

时，g（x）=sin4x，只要将g（x）向右平移

π

24

个单位，然后再向下平移

1

2

个单位即可得到f（x）图象．

点评：本题考查了向量的数量积运算以及三角函数图象的平移变换；解答过程中注意细心．