Question

解下列不等式：
（1）|x+1|（2-x）＜4；
（2）|

ax-1

x

|＞a．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）分当a＜0、当a=0、当a＞0三种情况，分别求得不等式的解集，综合可得结论．

解答： 解：（1）由|x+1|（2-x）＜4，可得

x≥-1 (x+1)(2-x)＜4

①，或 

x＜-1 (-x-1)(2-x)＜4

②．
解①求得x≥-1，解②求得-2＜x＜-1，
故原不等式的解集为{x|x＞-2}．
（2）对于不等式|

ax-1

x

|＞a，当a＜0时，显然成立，故a＜0时，不等式的解集为{x|x≠0}．
当a=0时，不等式即|

1

x

|＞0，不等式的解集为{x|x≠0}．
当a＞0时，由不等式|

ax-1

x

|＞a可得

x≠0 |ax-1|＞a|x|

，即

x≠0 (ax)2-2ax+1＞(ax)2

，解得x＜

1

2a

，即不等式的解集为（-∞，

1

2a

）．
综上可得，a≤0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a＞0时，不等式的解集为（-∞，

1

2a

）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．