Question

已知a、b、c为△ABC的三个内角A、B、C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：由题设得（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，再由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为c²+b²-a²=bc．再利用余弦定理可求A，利用基本不等式的性质与三角形的面积的计算公式即可得出．

解答： 解：∵a=2，∴（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，即为（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为c²+b²-a²=bc．
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
由c²+b²-a²=bc≥2bc-4．
可得bc≤4．当且仅当b=c=2时取等号．
∴△ABC面积=

1

2

bcsinA≤

1

2

×4×sin

π

3

=

3

．
∴△ABC面积的最大值为

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了正弦定理余弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．