Question

已知函数f（x）=3sin（ωx+

π

3

）的最小正周期为T且满足T∈（1，3），求正整数ω，并根据最小的ω的值求出函数的单调区间及与x轴的交点坐标．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：由条件求得最小的ω的值为3，可得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数的单调区间，根据正弦函数的对称中心求得函数的图象与x轴的交点坐标．

解答： 解：由题意可得1＜

2π

ω

＜3，求得

2π

3

＜ω＜2π，故满足条件的正整数ω=3，4，5，6，
故最小的ω的值为3，此时函数f（x）=3sin（3x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤3x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得

2kπ

3

-

5π

18

≤x≤

2kπ

3

+

π

18

，
故函数增区间为[

2kπ

3

-

5π

18

，

2kπ

3

+

π

18

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤3x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得

2kπ

3

+

π

18

≤x≤

2kπ

3

kπ+

7π

18

，
故函数减区间为[

2kπ

3

+

π

18

，

2kπ

3

+

7π

18

]，k∈z．
令3x+

π

3

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

3

kπ

2

-

π

9

，故函数的图象与x轴的交点坐标为（

kπ

3

-

π

9

，0）．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性、单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．