Question

已知函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若x∈[-

π

2

，

π

2

]，求f（x）的值域；
（2）若f（B+C）=1，a=

3

，b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（x+

π

6

），由x∈[-

π

2

，

π

2

]，可求x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，从而可求f（x）的值域；
（2）由（1）结合f（B+C）=1可得sin（A-

π

6

）=1，结合A的范围可求得A的值，由正弦定理结合B的范围可求B的值，由三角形内角和定理可得C的值，由三角形面积公式即可求值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

=

3

2

sinx+

1+cosx

2

-

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
∵x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴f（x）=sin（x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]．
（2）∵由（1）可得f（B+C）=sin（B+C+

π

6

）=1，
∴可得：sin[π-（A-

π

6

）]=1，即有：sin（A-

π

6

）=1，
∵0＜A＜π，-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴可解得：A-

π

6

=

π

2

，即得：A=

2π

3

，
∴由正弦定理可得：

3

sin 2π 3

=

1

sinB

，解得sinB=

1

2

．
∵0＜B＜π-A=

π

3

，可得B=

π

6

，由三角形内角和定理可得：C=π-A-B=

π

6

，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

3

×1×sin

π

6

=

3

4

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的单调性，正弦定理，三角形内角和定理的应用，熟练运用相关定理和公式是解题的关键，属于基本知识的考查．