Question

已知数列{a_n}和{b_n}，其中a₁=1，且数列{a_n}的相邻两项a_n、a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两个实根．
（1）求证：数列{a_n-

1

3

×2ⁿ}是等比数列；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对任意的n∈N都成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用定义法证明只需

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

为常数即可．
（2）根据（1）的结论进一步求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（3）由于（1）和（2）的通项已求出，直接对n进行分类讨论，利用恒成立问题求出结论．

解答： （1）证明：数列{a_n}的相邻两项a_n、a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两个实根．
则：

an+an+1=2n anan+1=bn

所以：

an+1- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=

2n-an- 1 3 •2n+1

an- 1 3 •2n

=-1（常数），
其中a₁=1，a₁-

2

3

=

1

3

故数列{an-

1

3

•2n}是以

1

3

为首项，公比为-1的等比数列．
（2）解：由于数列{a_n}是等比数列
所以：an-

1

3

•2n=

1

3

•(-1)n-1
解得：an=

1

3

[2n-(-1)n-1]
S_n=a₁+a₂+…+a_n=

1

3

[(2+22+…+2n-(-1)-(-1)2-…-（-1）ⁿ]
=

1

3

(2n+1-2-

(-1)n-1

2

)
所以：bn=anan+1=

1

9

(22n+1-(-2)n-1）
（3）假设存在实数λ使得b_n＞λS_n对任意的n∈N都成立，
则：只需满足

1

9

(2n+1-1)(2n+1)＞

λ

3

(2n+1-2-

(-1)n-1

2

)即可．
①当n为正奇数时，

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0
由于2ⁿ⁺¹-1＞0，
所以：λ＜

1

3

(2n+1)对任意的正奇数都成立．
则：当n=1时，

1

3

(2n+1)=1
则：λ＜1．
②当n为正偶数时，

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

2λ

3

(2n-1)＞0
由于2ⁿ-1＞0
则：λ＜

1

6

(2n+1+1)对任意的正偶数都成立．
所以：

1

6

(2n+1+1)的最小值为

3

2

．
所以：λ＜

3

2

．
由①②得：λ＜1
故存在实数λ，使得b_n＞λS_n对任意的n∈N都成立，λ的范围为：（-∞，1）．

点评：本题考查的知识要点：数列的求和，数列通项公式的求法，恒成立问题的应用，分类讨论思想的应用，及相关的运算问题．