Question

已知函数f（x）=

3

sin2x-m•sin²x（m∈R）．α终边上一点P（1，-

3

），且f（α）=-3．
（1）求实数m的值；
（2）函数f（x）的图象向左平移n个单位后变成偶函数g（x），求正数n的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的图象与图象变化

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，进一步利用点的坐标求出函数的值，进一步求出m的值．
（2）首先把函数的关系式变形成正弦型函数进一步利用函数的平移变换，利用整体思想求出函数关系式中n的最小正值．

解答： 解（1）f（x）=

3

sin2x-m•sin²x
=

3

sin2x-m

1-cos2x

2

=

3

sin2x+

m

2

cos2x-

m

2

，
由于α终边上一点P（1，-

3

），
所以：sinα=-

3

2

，cosα=

1

2

，
sin2α=-

3

2

，cos2α=-

1

2

，
由于f（α）=-3，
则：

3

sin2α+

m

2

cos2α-

m

2

=-3，
解得：m=2．
（2）由（1）得：函数f（x）=

3

sin2x+cos2x-1
=2sin（2x+

π

6

）-1，
函数的图象向左平移n个单位得到的函数为偶函数．
即：g（x）=2sin[2（x+n）+

π

6

]-1，
所以：2n+

π

6

=kπ+

π

2

，
解得：n=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
则当n=0时：n的最小正数为n=

π

6

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用点的坐标三角函数的值，函数图象的平移变换问题．