Question

正项数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1-

an+1

=a_n+

an

（1）数列{

an

}是否为等差数列？说明理由
（2）求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列的递推关系，利用因式分解法，结合等差数列的定义即可判断数列{

an

}是否为等差数列．
（2）根据数列{

an

}是等差数列，结合等差数列的通项公式即可求a_n．

解答： 解：（1）由a_n+1-

an+1

=a_n+

an

得，
a_n+1-a_n=

an+1

+

an

，
即（

an+1

-

an

）（

an+1

+

an

）=

an+1

+

an

，
∵a_n＞0，
∴

an+1

-

an

=1，
则数列{

an

}是公差d=1的等差数列，首项为

a1

=1．
（2）∵数列{

an

}是公差d=1的等差数列，首项为

a1

=1．
∴

an

=1+（n-1）×1=n，
则a_n=n²．

点评：本题主要考查等差数列的判断以及利用等差数列求数列的通项公式，利用因式分解法是解决本题的关键．