Question

【题目】如图，圆O为△ABC的外接圆，D为的中点，BD交AC于E．
（Ⅰ）证明：AD2=DEDB；
（Ⅱ）若AD∥BC，DE=2EB，AD= ， 求圆O的半径．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接OD，OC，
∵D是弧AC的中点，∴∠ABD=∠CBD
∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD
∵∠BDA=∠EDA∴△BAD∽△AED
∴，
∴AD2=DEDB．
解：（2）∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，
∵AD∥BC，DE=2EB，AD=，△BEC∽△AED，∴BC=，
∴∠ACB=∠DAC，∠BDC=∠ADB，
∵∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC，∴BE=CE，AE=DE，
延长DO交AC于F，交圆于G，
设BE=x，则DE=2x，
∵AD2=DEDB，∴6=2x3x，解得BE=CE=1，DE=AE=2，
∴AF=CF=，DF==，
设圆半径为r，则 OC=r，
∴r2=（﹣r）2+（）2 ， 解得r=．
∴圆半径为．

【解析】（Ⅰ）连接OD，OC，推导出△BAD∽△AED，由此能证明AD2=DEDB．
（2）设⊙O的半径为r，推导出△BEC∽△AED，从而求出BE=CE=1，DE=AE=2，由此能求出圆半径．