Question

【题目】如图，在圆锥中，已知，⊙O的直径，点C在底面圆周上，且，为的中点．

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）证明：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 （Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）要证∥平面转证∥即可；

（Ⅱ）由题意易得，，从而平面,即可得到结果；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，过作于，则平面。过作,垂足为,连结，则由三垂线定理得,即是二面角的平面角.

证明 ：（Ⅰ）∵为的中点，为的圆心,则∥,

∵平面， 平面，

∴∥平面。

证明：（Ⅱ）∵，是的中点，∴ .

又底面⊙底面⊙，∴，

∵, 平面，∴平面,

∵平面,

∴平面平面；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面平面，在平面中，过作于，

则平面。过作,垂足为,连结，

则由三垂线定理得,

∴是二面角的平面角.

在中， ,

在△中,可求得,

∴在△中,,

∴ .

即二面角的正弦值为．