【题目】设函数f(x)=+k(
+lnx)(k为常数).
(1)当k=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当k≥0时,求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
【答案】解:(1)当k=0时,f(x)=,f′(x)=
,
故f(1)=e,f′(1)=﹣e,
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y﹣e=﹣e(x﹣1),
即切线方程为:ex+y﹣2e=0;
(2)f(x)=+k(
+lnx)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=+k(﹣
+
)=(x﹣2)
,
∵k≥0,且x∈(0,+∞),∴>0,
故当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0;
故函数f(x)的单调减区间为(0,2),单调增区间为(2,+∞);
(3)由(2)知,f′(x)=(x﹣2),
∵<0在(0,2)上恒成立,
又∵函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,
∴h(x)=ex+kx在(0,2)内存在两个零点,
∴y=ex与y=﹣kx的图象在(0,2)内有两个交点,
作y=ex与y=﹣kx的图象如图,
相切时,设切点为(x,ex),
则=ex ,
故x=1;
故k1=e;
k2==
,
故e<﹣k<,
故﹣<k<﹣e.
【解析】(1)求导f′(x)= , 从而可得f(1)=e,f′(1)=﹣e,从而确定切线方程;
(2)求导f′(x)=(x﹣2) , 从而判断导数的正负以确定函数的单调性;
(3)求导f′(x)=(x﹣2) , 从而可得h(x)=ex+kx在(0,2)内存在两个零点,从而化为y=ex与y=﹣kx的图象在(0,2)内有两个交点,从而利用数形结合求解.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).
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【题目】在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=,则AC的值为________.
【答案】2
【解析】
利用余弦定理可得关于AC的方程,解之即可.
由余弦定理可知cosA==
=﹣
,
解得AC=2或﹣7(舍去)
故答案为:2
【点睛】
对于余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2)
.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还要记住
,
,
等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
【题型】填空题
【结束】
15
【题目】“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程都增加2 km,在达到离地面210 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒.
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【题目】为了得到函数y=sin4x﹣
cos4x的图象,可以将函数y=sin4x的图象( )
A.向右平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向左平移个单位
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【题目】某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛,文学院推荐了2名男生,3名女生,理学院推荐了4名男生,3名女生,文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训,由于集训后学生水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求文学院至少有一名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名学生在随机抽取4名参赛,记X表示参赛的男生人数,求X的分布列与数学期望.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出E点的位置;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列命题中不正确的是( )
A. 平面∥平面
,一条直线
平行于平面
,则
一定平行于平面
B. 平面∥平面
,则
内的任意一条直线都平行于平面
C. 一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面,那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D. 分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
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【题目】设 ,
是两个非零向量,则下列哪个描述是正确的( )
A.若|+
|=|
|﹣|
|,则
⊥
B.若⊥
, 则|
+
|=|
|﹣|
|
C.若|+
|=|
|﹣|
|,则存在实数λ使得
=
D.若存在实数λ使得=
, 则|
+
|=|
|﹣|
|
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