Question

【题目】设函数f（x）=+k（+lnx）（k为常数）．
（1）当k=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≥0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（1）当k=0时，f（x）=，f′（x）=，
故f（1）=e，f′（1）=﹣e，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=﹣e（x﹣1），
即切线方程为：ex+y﹣2e=0；
（2）f（x）=+k（+lnx）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=+k（﹣+）=（x﹣2），
∵k≥0，且x∈（0，+∞），∴＞0，
故当x∈（0，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；
故函数f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）；
（3）由（2）知，f′（x）=（x﹣2），
∵＜0在（0，2）上恒成立，
又∵函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，
∴h（x）=ex+kx在（0，2）内存在两个零点，
∴y=ex与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，
作y=ex与y=﹣kx的图象如图，
相切时，设切点为（x，ex），
则=ex ，
故x=1；
故k1=e；
k2==，
故e＜﹣k＜，
故﹣＜k＜﹣e．

【解析】（1）求导f′（x）= ， 从而可得f（1）=e，f′（1）=﹣e，从而确定切线方程；
（2）求导f′（x）=（x﹣2） ， 从而判断导数的正负以确定函数的单调性；
（3）求导f′（x）=（x﹣2） ， 从而可得h（x）=ex+kx在（0，2）内存在两个零点，从而化为y=ex与y=﹣kx的图象在（0，2）内有两个交点，从而利用数形结合求解．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．