练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2007•上海模拟）（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p的最小值；
    （2）若三角形有一个内角为arccos
    79
    ，周长为定值p，求面积S的最大值；
    （3）为了研究边长a，b，c满足9≥a≥8≥b≥4≥c≥3的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（a+b）2-c2][c2-（a-b）2]=-c4+2（a2+b2）c2-（a2-b2）2=-[c2-（a2+b2）]2+4a2b2
    而-[c2-（a2+b2）]2≤0，a2≤81，b2≤64，则S≤36，但是，其中等号成立的条件是c2=a2+b2，a=9，b=8，于是c2=145与3≤c≤4矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．
    以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．
    （注：16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）
    分析：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，由勾股定理和二次函数的性质求出y的最小值，即得周长p的
    最小值．
    （2）根据周长p=x+y+
    		x2+y2-2xy•
    7
    9
    ，利用基本不等式求得 xy≤
    9
    64
    p2    ，再由S=
    1
    2
    xysin(arccos
    7
    9
    )    =
    2
    		2
    9
    xy    ，求得面积S的最大值．
    （3）不正确，由海伦公式化简可得16S2=-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2 ，而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，
    则S≤16，故当三角形的边长为4
    		5
    ，8，4    的直角三角形时，其面积取得最大值16．
    另解：S=
    1
    2
    bcsinA≤
    1
    2
    •8•4•sin90°=16    ．
    解答：解：（1）设直角三角形两直角边长为x、12-x，斜边长为y，则y=
    		x2+(12-x)2
    =
    		2(x-6)2+72
    ≥6
    		2
    ，
    ∴两直角边长为6时，周长p的最小值为12+6
    		2
    ．
    （2）设三角形中边长为x、y的两边所夹的角为arccos
    7
    9
    ，则周长p=x+y+
    		x2+y2-2xy•
    7
    9
    ，
    ∴p≥2
    		xy
    +
    		2xy-
    14
    9
    xy
    =
    8
    3
    		xy
    ，即xy≤
    9
    64
    p2    ．
    又S=
    1
    2
    xysin(arccos
    7
    9
    )=
    2
    		2
    9
    xy≤
    		2
    32
    p2    ，∴为
    		2
    32
    p2    ．
    （3）不正确．16S2=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）=[（b+c）2-a2][a2-（b-c）2]
    =-a4+2（b2+c2）a2-（b2-c2）2 =-[a2-（b2+c2）]2+4b2c2
    而-[a2-（b2+c2）]2≤0，b2≤64，c2≤16，则S≤16，
    其中等号成立的条件是 a2=b2+c2，b=8，c=4，则a=4
    		5
    ．
    ∴当三角形的边长为4
    		5
    ，8，4    的直角三角形时，其面积取得最大值16．
    （ 另解：S=
    1
    2
    bcsinA≤
    1
    2
    •8•4•sin90°=16    ）
    点评：本题考查基本不等式，反余弦函数的定义，海伦公式的应用，三角形中的几何计算，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•上海模拟）已知命题“若x+y＞0，则x＞0且y＞0”．这个命题与它的否命题应当存在（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•上海模拟）一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为（1，2）和（3，-2），则下午5时该点的坐标是
    （11，-18）
    （11，-18）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•上海模拟）函数f(x)=log
    13
    x+2(x≥3)    的反函数的定义域是
    （-∞，1]
    （-∞，1]
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•上海模拟）化简：
    (secx-cosx)(cscx-sinx)
    sin2x
    =
    1
    2
    1
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2007•上海模拟）设（2x-3）10=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a10（x-1）10，则a0+a1+a2+…+a10=
    1
    1
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案