Question

已知f（x）=4cosωxsin（ωx-

π

6

）+1的最小正周期是π．求f（x）的单调增区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：直接利用三角函数的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的周期求出函数的解析式，再利用整体思想求出函数的单调区间．

解答： 解：f（x）=4cosωxsin（ωx-

π

6

）+1
=4cosωx（

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)+1+1
=2

3

sinωxcosωx-2cos²ωx+1
=

3

sin2ωx-cos2ωx
=2sin(2ωx-

π

6

)，
由于函数f（x）的最小正周期是π
所以：T=

2π

2ω

=π
解得：ω=1
所以函数的解析式为：f（x）=2sin(2x-

π

6

)
令：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ
所以函数的单调递增区间为：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期求函数解析式，函数单调区间的确定．