Question

19．若函数f（x）是偶函数，且在（-∞，0]上是增函数，又f（2）=0，则xf（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-2，0]∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性、单调性画出函数f（x）的示意图，将不等式等价转化，由图象求出不等式解集．

解答 解：∵偶函数f（x）在（-∞，0]上为增函数，又f（-2）=0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（-2）=f（2）=0，
画出函数f（x）的示意图如图所示：
∵不等式xf（x）＞0等价为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
∴由图得，0＜x＜2或x＜-2，
∴不等式的解集是（-∞，-2）∪（0，2），
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，不等式的等价转化，考查数形结合思想．