如图,四棱锥的底面
为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中
,
,平面
底面
,
是
的中点.
(1)求证://平面
;
(2)求证:;
(3)求三棱锥的体积
.
(1)祥见解析;(2)祥见解析;(3).
解析试题分析:(1)证BE∥平面PAD,可先取CD的中点为M,构建平面EBM,证明平面EBM∥平面APD,由面面平行,得到线面平行;
(2)取PD的中点F,连接FE,根据线面垂直的判定及性质,及等腰三角形性质,结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC,又由BE∥AF,可得BE⊥平面PDC;
(3)利用等体积法,由VP-ACD=VC-PAD,即可求三棱锥P-ACD的体积V.
试题解析:(1)证明:如图,
取PD的中点F,连接EF、AF,则在三角形PDC中
∴EF∥CD且,AB∥CD且
;
∴EF∥AB且,∴四边形ABEF是平行四边形, 2分
∴BE∥AF,而BE平面PAD,而AF?平面PAD,
∴BE∥平面PAD; 4分
(2)证明:在直角梯形中,
平面底面
,
平面底面
=AD
∴CD⊥平面PAD,, ∴CD⊥AF
由(1)BE∥AF, ∴CD⊥BE 10分
(3)解:由(2)知∴CD⊥平面PAD,
△PAD是边长为1的等边三角形
∴三棱锥的体积
=
14分
考点:1.直线与平面平行的判定;2.直线与平面垂直的判定;3.棱柱、棱锥、棱台的体积.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,AA1=AB=6,D为AC的中点.
(1)求证:直线AB1∥平面BC1D;
(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A;
(3)求三棱锥C﹣BC1D的体积.
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