Question

9．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．点O是线段AM的中点．

（Ⅰ）求证：平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）求证：AD⊥BM；
（Ⅲ）过D点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l?平面BCD；②l∥AM．请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理进行判断即可证明平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质定理即可证明AD⊥BM；
（Ⅲ）利用反证法结合线面平行的性质进行证明．

解答 证明：（Ⅰ）由已知DA=DM，O是AM的中点，
∴DO⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
DO?平面DOB，
∴平面DOB⊥平面ABCM；
（Ⅱ）在矩形ABCD中，AB=2AD，M为CD的中点，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AM⊥BM，
由（1）知，DO⊥平面ABCM；
∵BM?平面ABCM，
∴DO⊥BM，
∵DO，AM?平面ADM，DO∩AM=0，
∴BM⊥平面ADM，
而AD?平面ADM，
∴AD⊥BM；
（Ⅲ）过D点是不存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l?平面BCD；②l∥AM．
证明（反证法）
假设过D存在一条直线l满足条件，
则∵l∥AM，L?平面ABCM，AM?平面ABCM，
∴l∥平面ABCM，
∵l?平面BCD，平面ABCM∩平面BCD=BC，
∴l∥BC，
即AM∥BC，
由图易知，AM，BC相交，此时矛盾，
∴过D点不存在一条直线l满足题设条件．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行，垂直以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．