Question

1．已知函数f（x）=|x³-4x|+ax-2恰有2个零点，则实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 求出y=x³-4x的导数，求得单调区间，根据y=|x³-4x|为偶函数，得到单调区间，画出图象，当直线和曲线在第一象限相切，设切点为（m，n），求得切线的斜率，求得a=-1，m=1，由图象和对称性，可得a＞1或a＜-1．

解答 解：由y=x³-4x的导数为y′=3x²-4，
令y′＞0，解得x＞$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，或x＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
令y′＜0，解得-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则y在（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）递减，在（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）递增，
由于y=|x³-4x|为偶函数，则增区间为（-2，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（2，+∞），减区间为（-∞，-2），（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2）．
作出曲线y=|x³-4x|的图象，以及直线y=2-ax，
当直线和曲线在第一象限相切，设切点为（m，n），
则-a=4-3m²，且2-am=4m-m³，解得a=-1，m=1，
由图象可知，当直线的斜率大于1，即有直线和曲线只有两个交点，
由对称可知，当直线的斜率小于-1，即有直线和曲线只有两个交点．
则a的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查函数的零点的判断，主要考查数形结合思想方法的运用，同时考查导数的运用：求单调区间，以及函数的对称性，属于中档题．