Question

10．已知两个数列{a_n}，{b_n}，其中{a_n}是等比数列，且a₂=$\frac{1}{4}$，a₅=-$\frac{1}{32}$，b_n=$\frac{1}{3}$（1-a_n）．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$可得公比q，进而可得a_n的表达式，计算可得结论；
（Ⅱ）通过计算可得S_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n}$]，对n分奇、偶数讨论即可．

解答 （Ⅰ）解：∵a³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$-\frac{1}{8}$，∴q=-$\frac{1}{2}$，
∴a_n=a₂•q^n-2=$\frac{1}{4}$•$（-\frac{1}{2}）^{n-2}$=$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=$\frac{1}{3}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n}$]；
（Ⅱ）证明：S_n=b₁+b₂+…+b_n
=$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{3}$[$（-\frac{1}{2}）^{1}$+$（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n}$]
=$\frac{n}{3}$-$\frac{1}{3}$•$\frac{（-\frac{1}{2}）[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]}{1+\frac{1}{2}}$
=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$[1-$（-\frac{1}{2}）^{n}$]，
当n为奇数时，S_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$（1+$\frac{1}{{2}^{n}}$）＞$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$；
当n为偶数时，S_n=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{9}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{12}$；
综上：S_n≥$\frac{n}{3}$+$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查等比数列的性质，通项公式及求和公式，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．