Question

20．在极坐标系中，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$（t为参数）被曲线C：ρ=2cosθ所截得的线段长为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 化直线的参数方程为普通方程，化极坐标方程为普通方程，然后联立直线方程和圆的方程，利用弦长公式求得弦长．

解答 解：由l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\end{array}\right.$（t为参数），得y=2x-1，
由曲线C：ρ=2cosθ，得ρ²=2ρcosθ，即x²+y²-2x=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\end{array}\right.$，得5x²-6x+1=0．
设直线被圆解得弦的两个端点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{6}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{5}$．
∴$|AB|=\sqrt{1+{2}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}-\frac{4}{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查了参数方程和普通方程的互化，训练了弦长公式的用法，是基础的计算题．