Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=10，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n-1}}，n=2k}\\{-1+lo{g}_{2}{a}_{n-1}，n=2k+1}\end{array}\right.$（n∈N^*），其前n项和为S_n．
（Ⅰ）写出a₃，a₄；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用分段数列，先求a₂，再去a₃，a₄；
（Ⅱ）讨论当n为奇数时，运用等差数列的通项公式，当n为偶数时，运用奇数的结论，即可得到通项公式；
（Ⅲ）分析奇数项和偶数项的单调性，可得到S_n取最大值时n为偶数．再由a_2k+a_2k-1≥0（k∈N^*），求得k的最大值，结合等差数列和等比数列的求和公式计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）因为a₁=10，
所以a₂=${2}^{{a}_{1}}$=2¹⁰，
a₃=-1+log₂a₂=-1+log₂2¹⁰=9，
a₄=2⁹．                                           
（Ⅱ）当n为奇数时，a_n=-1+log₂a_n-1=-1+log₂${2}^{{a}_{n-2}}$=a_n-2-1，
即a_n-a_n-2=-1．
所以{a_n}的奇数项成首项为a₁=10，公差为-1的等差数列．
所以当n为奇数时，a_n=a₁+（$\frac{n-1}{2}$）•（-1）=$\frac{21-n}{2}$
当n为偶数时，a_n=${2}^{{a}_{n-1}}$=${2}^{\frac{21-（n-1）}{2}}$=${2}^{11-\frac{n}{2}}$
所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{11-\frac{n}{2}}，n=2k}\\{\frac{21-n}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*），
（Ⅲ）因为偶数项a_n=${2}^{11-\frac{n}{2}}$＞0，奇数项a_n=$\frac{21-n}{2}$为递减数列，
所以S_n取最大值时n为偶数．
令a_2k+a_2k-1≥0（k∈N^*），即2^11-k+$\frac{21-2k+1}{2}$≥0．
所以2^11-k≥k-11．
得k≤11．
所以S_n的最大值为S₂₂=（2¹⁰+2⁹+…+2¹+2⁰）+（10+9+…+0）
=$\frac{1-{2}^{11}}{1-2}$+$\frac{1}{2}×$（1+10）×10=2102．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，数列的单调性的运用，属于中档题．