Question

3．已知f（x）=x²+ax+b，用反证法证明：|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|不都小于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先根据函数f（x）的解析式，分别将x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），进而求得f（1）+f（3）-2f（2）．再假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于$\frac{1}{2}$，推出-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2，利用此式与上面求得的式子矛盾，从而得出证明．

解答 证明：∵f（x）=x²+ax+b
∴f（1）=1+a+b，f（2）=4+2a+b，f（3）=9+3a+b，
∴f（1）+f（3）-2f（2）=（1+a+b）+（9+3a+b）-2（4+2a+b）=2．
假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于$\frac{1}{2}$，
则|f（1）|＜$\frac{1}{2}$，|f（2）|＜$\frac{1}{2}$，|f（3）|＜$\frac{1}{2}$，
即有-$\frac{1}{2}＜$f（1）＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}＜$f（2）＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}＜$f（3）＜$\frac{1}{2}$，
∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
与f（1）+f（3）-2f（2）=2矛盾，
∴假设不成立，即原命题成立

点评 反证法是一种从反面的角度思考问题的证明方法，体现的原则是正难则反．反证法的基本思想：否定结论就会导致矛盾，证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”．实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立．