Question

18．若实数x，y满足|x-3|≤y≤1，则z=$\frac{2x+y}{x+y}$的最小值为$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 把已知的不等式转化为不等式组，然后作出可行域，化目标函数为含有$\frac{y}{x}$的代数式，然后由$\frac{y}{x}$的几何意义求出其范围，代入目标函数求得目标函数的最小值．

解答 解：依题意，得实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y-3≤0}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$，画出可行域如图所示，

其中A（3，0），C（2，1），
z=$\frac{2x+y}{x+y}$=$\frac{x+y}{x+y}+\frac{x}{x+y}=1+\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，
则OC的斜率最大为k=$\frac{1}{2}$，OA的斜率最小为k=0，
则0≤k≤$\frac{1}{2}$，则1≤k+1≤$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$≤$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$≤1，
故$\frac{5}{3}$≤1+$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$≤2，
故z=$\frac{2x+y}{x+y}$的最小值为$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．是中档题．