Question

10．如图、已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥A₁D；
（Ⅱ）若AB₁⊥A₁C，求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明CD⊥AB，AA₁⊥CD，利用直线与平面垂直的判定定理与性质定理证明CD⊥A₁D．
（Ⅱ）推出∠A₁DB₁为所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角，求出△A₁DB₁，的边长利用余弦定理求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB…（2分）
又直三棱柱中，AA₁⊥平面ABC，故AA₁⊥CD…（4分）
∴CD⊥平面A₁ABB₁，A₁D?平面A₁ABB₁，
故CD⊥A₁D…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）CD⊥平面A₁ABB₁，∵CD⊥DB₁，CD⊥A₁D，
故∠A₁DB₁为所求的二面角A₁-CD-B₁的平面角．…（7分）
∵AB₁⊥A₁C，又CD⊥平面A₁ABB₁，
∴CD⊥AB₁，
∴AB₁⊥平面A₁CD，∴AB₁⊥A₁D，…（9分）
由Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A，
因此$\frac{{A{A_1}}}{AD}=\frac{{{A_1}{B_1}}}{{A{A_1}}}$得$A{A_1}^2=AD•{A_1}{B_1}=8$，
∴${A_1}D=\sqrt{A{A_1}^2+A{D^2}}=2\sqrt{3}，{B_1}D={A_1}D=2\sqrt{3}$…（11分）
∴在△A₁DB₁中，由余弦定理得$cos{A_1}D{B_1}=\frac{{{A_1}{D^2}+D{B_1}^2-{A_1}{B_1}^2}}{{2{A_1}D•D{B_1}}}=\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力．