Question

6．已知关于t的方程t²+（a-4）t+a=0在（0，+∞）上有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 运用参数分离，可得-a=$\frac{{t}^{2}-4t}{t+1}$，令f（t）=$\frac{{t}^{2}-4t}{t+1}$，（t＞0），即有f（t）=（t+1）+$\frac{5}{t+1}$-6，运用基本不等式，可得最小值，解关于a的不等式即可得到所求范围．

解答 解：由题意可得，a（t+1）+（t²-4t）=0在（0，+∞）上有解，
即有-a=$\frac{{t}^{2}-4t}{t+1}$，
令f（t）=$\frac{{t}^{2}-4t}{t+1}$，（t＞0），
即有f（t）=（t+1）+$\frac{5}{t+1}$-6，
由于t+1＞1，f（t）≥2$\sqrt{（t+1）•\frac{5}{t+1}}$-6
=2$\sqrt{5}$-6．
当且仅当t+1=$\sqrt{5}$，即t=$\sqrt{5}$-1＞1，
f（t）取得最小值2$\sqrt{5}$-6．
则有-a≥2$\sqrt{5}$-6，
解得a≤6-2$\sqrt{5}$．
即有a的取值范围是（-∞，6-2$\sqrt{5}$]．

点评 本题考查方程有解的条件，运用参数分离和构造函数，运用基本不等式求最值是解题的关键．