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    9．某高中有甲、乙两个生物兴趣小组，分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为$\frac{3}{4}$，乙组能使生物成活的概率为$\frac{1}{3}$，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．
    （1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；
    （2）若甲．乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

    分析 （1）设甲小组做了三次实验，至少两次试验成功为事件A，则P（A）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{3}{4}）^{2}$×（1-$\frac{3}{4}$）+${∁}_{3}^{3}$$（\frac{3}{4}）^{3}$，即可得出；
    （2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其分布列、数学期望计算公式即可得出．

    解答 解：（1）设甲小组做了三次实验，至少两次试验成功为事件A，则
    P（A）=${∁}_{3}^{2}$$（\frac{3}{4}）^{2}$×（1-$\frac{3}{4}$）+${∁}_{3}^{3}$$（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{27}{32}$，
    （2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4．
    P（ξ=0）=${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{144}$，
    P（ξ=1）=${∁}_{2}^{1}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{28}{144}$，
    P（ξ=2）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{0}$×$（\frac{1}{3}）^{0}×（\frac{2}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{0}×（\frac{3}{4}）^{0}×（\frac{1}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{1}{3}）^{2}$+${∁}_{2}^{1}×\frac{3}{4}×\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{61}{144}$，
    P（ξ=3）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${∁}_{2}^{1}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{4}$×${∁}_{2}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{42}{144}$，
    P（ξ=4）=${∁}_{2}^{2}$×$（\frac{3}{4}）^{2}$×${∁}_{2}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{9}{144}$．
    故ξ的分布列为：

    ξ01234
    P$\frac{4}{144}$$\frac{28}{144}$$\frac{61}{144}$$\frac{42}{144}$$\frac{9}{144}$
    ∴E（ξ）=0×$\frac{4}{144}$+1×$\frac{28}{144}$+2×$\frac{61}{144}$+3×$\frac{42}{144}$+4×$\frac{9}{144}$=$\frac{13}{6}$．

    点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的数学期望计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

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