Question

4．求下列函数的最大值与最小值
（1）f（x）=lnx+ln（2-x），x∈[$\frac{1}{2}$，1]；
（2）f（x）=x³-3x²+2，x∈[-1，3]．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）=lnx（2-x），从而再讨论二次函数x（2-x）=-（x-1）²+1的取值范围，从而求最值；
（2）求导f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），从而由导数确定f（x）在[-1，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数；从而求最值．

解答 解：（1）f（x）=lnx+ln（2-x）=lnx（2-x），
x（2-x）=-（x-1）²+1，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴$\frac{3}{4}$≤-（x-1）²+1≤1，
∴ln$\frac{3}{4}$≤f（x）≤ln1=0；
故最大值为0，最小值为ln$\frac{3}{4}$；
（2）∵f（x）=x³-3x²+2，
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在[-1，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数；
且f（-1）=-1-3+2=-2，f（0）=2，f（2）=8-12+2=-2，f（3）=27-27+2=2；
故最大值为2，最小值为-2．

点评 本题考查了二次函数的性质应用及复合函数的应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．