Question

2．已知函数f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，其中a为常数．
（Ⅰ）若f（x）的图象在x=1处的切线经过点（3，4），求a的值；
（Ⅱ）若0＜a＜1，求证：$f（\;\frac{a^2}{2}\;）＞0$；
（Ⅲ）当函数f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（1）=1-2a，又${f}^{′}（1）=\frac{4-f（1）}{3-1}=2$，得1-2a=2，求得a=$-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）求出$f（\frac{a^2}{2}）=ln\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{2}{a}=2lna+\frac{2}{a}-\frac{a^3}{2}-ln2$，构造函数$g（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，由导数求得$g（x）＞g（1）=2-\frac{1}{2}-ln2＞0$得答案；
（Ⅲ）求出原函数的导函数，然后分a≤0，a$≥\frac{1}{2}$，0$＜a＜\frac{1}{2}$三种情况讨论f（x）的零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-ax+$\frac{a}{x}$，∴$f'（x）=\frac{1}{x}-a（1+\frac{1}{x^2}）$，
∴f'（1）=1-2a，
又${f}^{′}（1）=\frac{4-f（1）}{3-1}=2$，∴1-2a=2，a=$-\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）$f（\frac{a^2}{2}）=ln\frac{a^2}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{2}{a}=2lna+\frac{2}{a}-\frac{a^3}{2}-ln2$，
令$g（x）=2lnx+\frac{2}{x}-\frac{x^3}{2}-ln2$，
则$g'（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{{3{x^2}}}{2}=\frac{{-3{x^4}+4（x-1）}}{{2{x^2}}}$，
∴x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
故x∈（0，1）时，$g（x）＞g（1）=2-\frac{1}{2}-ln2＞0$，
∴当0＜a＜1时，$f（\;\frac{a^2}{2}\;）＞0$；
（Ⅲ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a（1+\frac{1}{x^2}）=\frac{{-a{x^2}+x-a}}{x^2}$，
①当a≤0时，在（0，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；
②当a$≥\frac{1}{2}$时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，
∴f（x）至多只有一个零点，不合题意；
③当0$＜a＜\frac{1}{2}$时，令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1-4{a}^{2}}}{2a}$，
此时，f（x）在（0，x₁）上递减，（x₁，x₂）上递增，（x₂，+∞）上递减，
∴f（x）至多有三个零点．
∵f（x）在（x₁，1）递增，∴f（x₁）＜f（1）=0，
又∵$f（\frac{a^2}{2}）＞0$，
∴$?{x_0}∈（\frac{a^2}{2}，{x_1}）$，使得f（x₀）=0，
又$f（\frac{1}{x_0}）=-f（{x_0}）=0，f（1）=0$，
∴恰有三个不同零点：${x_{0，}}1，\frac{1}{x_0}$，
∴函数f（x）存在三个不同的零点时，a的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是压轴题．