Question

13．已知：函数f（x）=ln（1+x）-x+ax²（a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；
（Ⅱ）当a∈（-∞，$\frac{1}{2}$）时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，确定切线的斜率，切点的坐标，即可求f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；
（Ⅱ）当a∈（-∞，$\frac{1}{2}$）时，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）的单调区间．

解答 解：由已知，$f'（x）=\frac{1}{x+1}-1+2ax$=$\frac{{2a{x^2}-（1-2a）x}}{x+1}$，x＞-1．
（Ⅰ）f（0）=0，f′（0）=0．
所以，f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=0…（4分）
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=-$\frac{x}{x+1}$，
此时x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，
此时，f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减；
$当a≠0时，令f'（x）=0得{x_1}=0，{x_2}=\frac{1}{2a}-1$．
①0＜a＜$\frac{1}{2}$，x∈（-1，0）∪（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（0，$\frac{1}{2a}$-1）时，f′（x）＞0
此时，f（x）在（-1，0）、（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）上单调递减，在（0，$\frac{1}{2a}$-1）上单调递增
②a＜0，x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0
此时，f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．
综上，a≤0时，f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）；$当0＜a＜\frac{1}{2}时，f（x）减区间是（-1，0）和（\frac{1}{2a}-1，+∞）；f（x）增区间是（0，\frac{1}{2a}-1）$．…（12分）

点评 本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调区间，正确求导、分类讨论是关键．