Question

14．已知函数f（x）=$\frac{lnax+1}{x}$ （a＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）如果关于x的方程lnx+1=bx有两解，写出b的取值范围（只需写出结论）；
（Ⅲ）证明：当k∈N^*且k≥2时，ln$\frac{k}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{k}$＜lnk．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先确定函数f（x）=$\frac{lnax+1}{x}$ （a＞0）的定义域，再求导f′（x）=$\frac{-lnax}{{x}^{2}}$；从而由导数确定函数的单调性，从而求最值；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知当0＜b＜1时，方程lnx+1=bx有两解；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得$\frac{lnx+1}{x}$≤1，变形可得1-x≤ln$\frac{1}{x}$，（当x=1时，等号成立）；从而证明当k∈N且k≥2时，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{k}$＜lnk；再变形可得lnx≤x-1，（当x=1时，等号成立）；从而证明当k∈N且k≥2时，ln$\frac{k}{2}$＜ln$\frac{k+1}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{k}$；从而得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{lnax+1}{x}$ （a＞0）的定义域为{x|x＞0}．
∵f（x）=$\frac{lnax+1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{-lnax}{{x}^{2}}$；
∵a＞0，且当f′（x）=0时，x=$\frac{1}{a}$；
当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增；
当 x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减．
所以当x=$\frac{1}{a}$时，f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=a．
（Ⅱ）结合（Ⅰ）知，当0＜b＜1时，方程lnx+1=bx有两解；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）得$\frac{lnx+1}{x}$≤1，
即1-x≤ln$\frac{1}{x}$，（当x=1时，等号成立）；
则1-$\frac{1}{2}$＜ln2，1-$\frac{2}{3}$＜ln$\frac{3}{2}$，…，1-$\frac{k-1}{k}$＜ln$\frac{k}{k-1}$，
则当k∈N且k≥2时，
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{k}$＜lnk；
由（Ⅰ）得 $\frac{lnx+1}{x}$≤1，
即lnx≤x-1，（当x=1时，等号成立），
则ln$\frac{3}{2}$＜$\frac{3}{2}$-1，ln$\frac{4}{3}$＜$\frac{4}{3}$-1，…ln$\frac{k+1}{k}$＜$\frac{k+1}{k}$-1，
则当k∈N且k≥2时，ln$\frac{k}{2}$＜ln$\frac{k+1}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{k}$；
综上所述，当k∈N且k≥2时，
ln$\frac{k}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{k}$＜lnk．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的应用及函数在证明不等式中的应用，属于难题．