Question

4．已知方程4x|x|+y|y|=4的曲线为函数y=f（x）的图象，对于函数f（x）有如下结论，其中正确的是②⑤．（写出所有正确结论的序号）
①函数y=f（x）是R上的奇函数
②函数y=f（x）是R上的减函数
③函数f（x）的图象关于直线y=2x对称
④函数y=g（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，则函数g（x）的图象是方程4x|x|-y|y|=4表示的曲线
⑤方程f（x）+2x=k恰有两个不等的解，则k∈（0，2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给的命题的真假性

解答 解：（1）x≥0，y≥0，4x²+y²=4，即x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦点在y轴上的椭圆在第一象限的部分，函数f（x）为减函数，
（2）x≥0，y＜0，4x²-y²=4，x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦点在x轴上的双曲线在第四象限的部分，函数f（x）为减函数，
（3）x＜0，y≥0，y²-4x²=4，-x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦点在y轴上的双曲线的双曲线在第二象限的部分，函数f（x）为减函数，
（4）x＜0，y＜0，不存在
根据上述情况作出相应的图象，如图所示，
由图象可知①③错误，②正确，
函数y=g（x）和y=f（x）的图象关于原点对称，则函数g（x）的图象是方程4x|x|+y|y|=-4表示的曲线，故④错误，
当图象在第一象限时，方程f（x）+2x=k恰有两个不等的解，
∴f²（x）=（k-2x）²，
即8x²-4kx+k²-4=0，
∴△=16k²-4×8（k²-4）＞0，
解得0＜k＜2$\sqrt{2}$，
当图象在第二四象限时，
方程f（x）+2x=k恰有各有一个不等的解，
∴f²（x）=（k-2x）²，
∴4kx=k²+4，
∴k＞0，
综上所述方程f（x）+2x=k恰有两个不等的解，则k∈（0，2$\sqrt{2}$）．
故⑤正确．
故答案为：②⑤

点评 本题主要考查了含有绝对值的函数的图象，以及有关圆锥曲线的问题，利用了数形结合的思想，属于难题