Question

13．（1）已知f（cosx）=cos17x，求证：f（sinx）=sin17x；
（2）对于怎样的整数n，才能由f（sinx）=sinnx推出f（cosx）=cosnx？

Answer 1

分析 （1）将sinx利用诱导公式变形为cos（$\frac{π}{2}$-x），利用已知等式变形，再利用诱导公式化简即可得证．
（2）由诱导公式化简可得sin（$\frac{π}{2}$n-nx）=sin（$\frac{π}{2}$-nx），可得$\frac{π}{2}$n-nx=$\frac{π}{2}$-nx+2kπ，（k为整数）即可解得n的值．

解答 解：（1）∵f（cosx）=cos17x，
∴左边=f（sinx）=f（cos（$\frac{π}{2}-x$））=cos17（$\frac{π}{2}-x$）=cos（$\frac{17π}{2}-17x$）=sin17x=右边．得证．
（2）由f（cosx）=f（sin（$\frac{π}{2}-x$））=sin（$\frac{π}{2}$n-nx）=cosnx=sin（$\frac{π}{2}$-nx），
可得：$\frac{π}{2}$n-nx=$\frac{π}{2}$-nx+2kπ，（k为整数）
解得：n=4k+1（k为整数）

点评 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，属于基本知识的考查．