Question

19．设函数f（x）=-x²+6x-4lnx在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），若?x∈（0，x₀）∪（x₀，+∞），都有$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＜0成立，则x₀的值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），得到g（x）的表达式，代入f（x）
-g（x），求其导函数，利用${x}_{0}＜\sqrt{2}$时，在（${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$）上φ′（x）＞0，∴φ（x）在此区间上单调递增，
${x}_{0}＞\sqrt{2}$时，在（$\frac{2}{{x}_{0}}，{x}_{0}$）上φ′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减可得x₀的值．

解答 解：由函数f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），则g（x）-（$-{{x}_{0}}^{2}+6{x}_{0}-4ln{x}_{0}$）=（$-2{x}_{0}-\frac{4}{{x}_{0}}+6$）（x-x₀），
∴g（x）=$-{{x}_{0}}^{2}+6{x}_{0}-4ln{x}_{0}$+（$-2{x}_{0}-\frac{4}{{x}_{0}}+6$）（x-x₀），
令φ（x）=f（x）-g（x）=-x²+6x-4lnx+${{x}_{0}}^{2}-6{x}_{0}+4ln{x}_{0}-（-2{x}_{0}-\frac{4}{{x}_{0}}+6）（x-{x}_{0}）$．
则φ（x₀）=0．
φ′（x）=-2x+6$-\frac{4}{x}+2{x}_{0}+\frac{4}{{x}_{0}}-6$=$-\frac{2}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）（{x}_{0}-\frac{2}{x}）$，
当${x}_{0}＜\sqrt{2}$时，在（${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$）上φ′（x）＞0，∴φ（x）在此区间上单调递增，
∴x∈（${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$）时，φ（x）＞φ（x₀）=0．
从而x∈（${x}_{0}，\frac{2}{{x}_{0}}$）时，$\frac{φ（x）}{x-{x}_{0}}$＜0．
当${x}_{0}＞\sqrt{2}$时，在（$\frac{2}{{x}_{0}}，{x}_{0}$）上φ′（x）＜0，∴φ（x）在此区间上单调递减，
∴x∈（$\frac{2}{{x}_{0}}，{x}_{0}$）时，φ（x）＞φ（x₀）=0．
从而x∈（$\frac{2}{{x}_{0}}，{x}_{0}$）时，$\frac{φ（x）}{x-{x}_{0}}$＜0．
∴?x∈（0，$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）时，都有$\frac{f（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＜0成立，
∴${x}_{0}=\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，正确理解导数的几何意义及熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键，是中高档题．