Question

15．对于数列{a_n}，定义其积数是V_n=$\frac{{{a_1}•a{\;}_2•a{\;}_3…{a_n}}}{n}，（{n∈{N_+}}）$．
（1）若数列{a_n}的积数是V_n=n+1，求a_n；
（2）等比数列{a_n}中，a₂=3，a₃是a₂和a₄的等差中项，若数列{a_n}的积数V_n满足V_n≥$\frac{2t-1}{n}$对一切n∈N₊恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由新定义，可将n换为n-1，两式相除，即可得到数列{a_n}的通项，注意检验首项；
（2）运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，由不等式恒成立思想转化为求数列的最值，即可得到t的范围．

解答 解：（1）∵V_n=n+1，∴a₁•a₂•a₃•…•a_n=n（n+1）…①
当n≥2，∴a₁•a₂•a₃…a_n-1=（n-1）•n…②
$\frac{①}{②}$得：${a_n}=\frac{n+1}{n-1}$，
当n=1，a₁=V₁=2，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2\\ \frac{n+1}{n-1}\end{array}\right.$$\begin{array}{l}{（{n=1}）}\\{（{n≥2，n∈{N_+}}）}\end{array}$；
（2）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a₃是a₂和a₄的等差中项，且a₂=3，
∴2a₃=a₂+a₄
$2{a_2}•q={a_2}+{a_2}{q^2}$，
q²-2q+1=0，即（q-1）²=0，
∴q=1，
∴${a_n}=3，则{V_n}=\frac{3^n}{n}≥\frac{2t-1}{n}（{n∈{N_+}}）$恒成立，
即2t-1≤（3ⁿ）_min
即2t-1≤3即t≤2．

点评 本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列的性质和等比数列的通项公式的运用，考查不等式恒成立问题转化为求最值，属于中档题和易错题．