Question

3．如图，AB为圆O的直径，E是圆O上不同于A、B的动点，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F是DE的中点．
（Ⅰ）求证：OF∥平面BCE；
（Ⅱ）平面ADE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明OF∥平面BCE；
（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BCE．

解答 证明：（Ⅰ）取CE的中点G，连接FG，BG，
∵F为DE的中点，
∴FG∥CD且FG=$\frac{1}{2}$CD，
∵ABCD为矩形，且O为AB的中点，
∴OB∥CD，且OB=$\frac{1}{2}$CD，
∴OB∥FG，且OB=FG，
∴OFGB为平行四边形，
∴OF∥GB，
∵OF?平面BCD，GB?平面BCE，
∴OF∥平面BCE．
（Ⅱ）由平面ABCD⊥平面ABE，且平面ABCD∩平面ABE=AB，
DA⊥AB，DA?平面ABCD，
∴DA⊥平面ABE，
∴BE⊥AE，
∴BE⊥平面DAE，
∵BE?平面BCE，
∴平面ADE⊥平面BCE．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．