Question

13．已知 0≤x≤1，若|$\frac{1}{2}$x³-ax|≤1恒成立，则实数a的取值范围是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 易知当x=0时，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=0＜1；当0＜x≤1时，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=x|$\frac{1}{2}$x²-a|，从而化为|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$；再以a讨论从而确定函数的单调性及取值，从而解得．

解答 解：当x=0时，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=0＜1，
当0＜x≤1时，|$\frac{1}{2}$x³-ax|=x|$\frac{1}{2}$x²-a|，
故|$\frac{1}{2}$x³-ax|≤1可化为|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$；
①当a≤0时，|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$可化为$\frac{1}{2}$x²-a≤$\frac{1}{x}$，
即a≥$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$，
易知y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{x}$在（0，1]上是增函数，
故只需使a≥$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$；
②当0＜a≤1时，
|$\frac{1}{2}$x²-a|≤1≤$\frac{1}{x}$，故成立；
③当a＞1时，|$\frac{1}{2}$x²-a|≤$\frac{1}{x}$可化为-$\frac{1}{2}$x²+a≤$\frac{1}{x}$，
即a≤$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$，
（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$）′=x-$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0，
故$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{x}$在（0，1]上是减函数，
故a≤$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$；
综上所述，-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{3}{2}$；
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．