Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁C⊥AB，侧面BCC₁B₁为菱形．
（1）求证：平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）如果点D，E分别为A₁C₁，BB₁的中点，求证：DE∥平面ABC₁．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．

解答 解：（1）因三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BCC₁B₁为菱形，
故B₁C⊥BC₁．…2分
又B₁C⊥AB，且AB，BC₁为平面ABC₁内的两条相交直线，
故B₁C⊥平面ABC₁．…5分
因B₁C?平面BCC₁B₁，
故平面ABC₁⊥平面BCC₁B₁．…7分
（2）如图，取AA₁的中点F，连DF，FE．
又D为A₁C₁的中点，故DF∥AC₁，EF∥AB．
因DF?平面ABC₁，AC₁?平面ABC₁，
故DF∥面ABC₁．…10分
同理，EF∥面ABC₁．
因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，
故平面DEF∥面ABC₁．…12分
因DE?平面DEF，
故DE∥面ABC₁．…14分．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．