Question

20．函数f（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}-1}$（a＞0）的图象很像网络流行的“囧”字的内部，我们不妨把它称为“囧函数”，现有以下命题，其中正确的是①③．（写出所有正确结论的序号）
①f（x）的图象不关于原点对称
②f（x）的最小值为-1
③对于定义域内任意两正数m、n，若m＜n．则f（m）＞f（n）
④f（x）的导函数f′（x）有零点
⑤对于（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上的任意实数m，n，恒有$\frac{f（m）+f（n）}{2}$≥f（$\frac{m+n}{2}$）

Answer 1

分析 函数f（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}-1}$（a＞0），定义域为{x|$x≠±\frac{\sqrt{a}}{a}$}，f′（x）=$\frac{-2ax}{（a{x}^{2}-1）^{2}}$．利用导数研究其单调性，画出图象，再利用其奇偶性等即可判断出正误．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{a{x}^{2}-1}$（a＞0），定义域为{x|$x≠±\frac{\sqrt{a}}{a}$}，f′（x）=$\frac{-2ax}{（a{x}^{2}-1）^{2}}$．
当x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当-$\frac{\sqrt{a}}{a}$＜x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜-$\frac{\sqrt{a}}{a}$时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．画出图象：
①由f（-x）=f（x）$（x≠±\frac{\sqrt{2}}{2}）$，可知：f（x）的图象关于y轴对称，不关于原点对称，正确；
②由图象可得：f（x）无最小值，因此不正确；
③对于定义域内任意两正数m、n，若取m=$\frac{1}{2}$，n=1，则f（m）＜f（n），因此不正确；
④令f′（x）=0，解得x=0，因此f（x）的导函数f′（x）有零点，正确；
⑤对于（-$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）上的任意实数m，n，恒有$\frac{f（m）+f（n）}{2}$≤f（$\frac{m+n}{2}$），因此不正确．
综上可得：只有①③正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其性质，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．