Question

9．函数f（x）=a^x-x²（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$．

Answer 1

分析 x＜0时，必有一个交点，x＞0时，由a^x-x²=0，可得lna=$\frac{2lnx}{x}$，构造函数，确定函数的单调性，求出1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$时有两个交点，即可得出结论．

解答 解：x＞0时，由a^x-x²=0，可得a^x=x²，∴xlna=2lnx，
∴lna=$\frac{2lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{2lnx}{x}$，则h′（x）=$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}$=0，可得x=e，
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{2}{e}$，
∴lna＜$\frac{2}{e}$，
∴1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$时有两个交点；
又x＜0时，必有一个交点，
∴1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$时，函数f（x）=a^x-x²（a＞1）有三个不同的零点，
故答案为：1＜a＜${e}^{\frac{2}{e}}$．

点评 本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．