Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sinx•cosx，则f（x）的最小正周期是π，f（x）的单调增区间是（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z）．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式易得周期，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调增区间．

解答 解：化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\sqrt{3}$sinx•cosx
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{3}$＜x＜kπ+$\frac{π}{6}$，
∴f（x）的单调增区间为：（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z），
故答案为：π；（kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$）（k∈Z）．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．