Question

2．设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点是F，已知P（2，m）是抛物线C上一点，且|PF|=4．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）设过点Q（3，2）的直线l₁与抛物线C相交于A、B两点，经过点F与直线l₁垂直的直线l₂交抛物线C于M、N两点，若|MN|是|QA|、|QB|的等比中项，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将P（2，m）代入抛物线C方程及抛物线的定义计算即得结论；
（Ⅱ）设l₁：x=m（y-2）+3（m≠0），l₂：x=-$\frac{1}{m}$y+2，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄），分别与抛物线方程联立，利用韦达定理及|QA|•|QB|=|MN|²，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）根据抛物线的定义得|PF|即为点P到准线的距离，
∴|PF|=2+$\frac{p}{2}$=4，∴p=4，
又P（2，m）是抛物线C上一点，
∴m²=2×4×2=16，
∴m=±4；
（Ⅱ）由题可设l₁：x=m（y-2）+3（m≠0），
则l₂：x=-$\frac{1}{m}$y+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=m（y-2）+3}\end{array}\right.$，得y²-8my+16m-24=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则有y₁+y₂=8m，y₁y₂=16m-24，
∴|QA|•|QB|=（1+m²）|y₂-2||y₁-2|=20（1+m²），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x}\\{x=-\frac{1}{m}y+2}\end{array}\right.$，得m²y+8y-16m=0，
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄），
则y₃+y₄=-$\frac{8}{m}$，y₃y₄=-16，
故|MN|²=（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）|y₃-y₄|²=$\frac{64（1+{m}^{2}）^{2}}{{m}^{4}}$，
由已知20（1+m²）=$\frac{64（1+{m}^{2}）^{2}}{{m}^{4}}$，
化简得5m⁴-16m²-16=0，
解得m²=4，
∴|MN|=10．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到韦达定理、等比中项的性质，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．