Question

5．一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M、N分别是AF、BC的中点）．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求多面体A-CDEF的体积；
（3）求平面ADE与平面NMF所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四边形ABCD是边长为2的正方形，底面ABFE是边长为2的正方形，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）取BF的中点P，连接MP，NP．又M，N分别为AF，BC的中点．利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可证明MN∥平面CDEF．
（2）作AQ⊥DE，垂足为Q，利用线面垂直的判定与性质定理可得：AQ⊥平面CDEF．利用V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×AQ×{S}_{CDEF}$即可得出．
（3）利用平面BCF⊥平面ABFE，可得MP⊥平面BCF，过点P作PG⊥NF，可得：NF⊥MG，于是∠MGF为M-NF-B的二面角的平面角，即为平面ADE与平面NMF所成的锐二面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．

解答 解：由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，
四边形ABCD是边长为2的正方形，底面ABFE是边长为2的正方形，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）证明：取BF的中点P，连接MP，NP．
又M，N分别为AF，BC的中点．
∴NP∥CF，MP∥AB，
又AB∥EF，
可得MP∥EF．
又MP∩NP=P，MP?平面CDEF，NP?平面CDEF．
∴平面MNP∥平面CDEF；
∴MN∥平面CDEF．
（2）解：作AQ⊥DE，垂足为Q，
∵AD⊥平面ABFE，∴AD⊥EF．
又FE⊥AE，AD∩AE，
∴FE⊥平面ADE，
∴FE⊥AQ，
∴AQ⊥平面CDEF．
∵S_{四边形CDEF}=EF•DE=$2×2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
$AQ=\frac{AD•AE}{DE}$=$\frac{2×2}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴V_A-CDEF=$\frac{1}{3}×AQ×{S}_{CDEF}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×4\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．
（3）解：∵平面BCF⊥平面ABFE，平面BCF∩平面ABFE=BF，MP⊥BF，∴MP⊥平面BCF，
过点P作PG⊥NF，连接MG，则NF⊥MG，
∴∠MGF为M-NF-B的二面角的平面角，即为平面ADE与平面NMF所成的锐二面角．
∵tan∠MFB=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠MFB=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
在Rt△FPG中，PG=PF•sin∠PFG=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴tan∠MGF=$\frac{MP}{PG}$=$\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$=$\sqrt{5}$．
∴cos∠MGF=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了线面面面平行与垂直的判定及其性质定理、二面角、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．