Question

16．已知g（x）在[-1，1]上为减函数，且g（x）=λx+sinx，若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 利用g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，得出λ≤-cosx，再结合三角函数的性质即可求λ的取值范围．在利用函数g（x）在[-1，1]上单调递减，求出其最大值，把g（x）≤t²-λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为其最大值小于等于t²-λt+1恒成立，进而得到（1-t）λ+t²+sin1+1≥0（其中λ≤-1）恒成立，再利用一次函数恒成立问题的解法即可求t出的取值范围．

解答 解：∵g（x）=λx+sinx是区间[-1，1]上的减函数，
∴g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-cosx．
又∵cosx∈[cos1，1]，
∴-cosx∈[-1，-cos1]．
∴λ≤-1．
∵g（x）在区间[-1，1]上单调递减，
函数g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1≤t²+λt+1恒成立．
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立．
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{t+1≤0}\\{-t-1+{t}^{2}+sin1+1≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤-1}\\{{t}^{2}-t+sin1≥0}\end{array}\right.$，而t²-t+sin1≥0恒成立，
∴t≤-1．

点评 本题主要考查函数单调性及函数恒成立问题．一次函数的恒成立问题一般要考虑一次项系数的符号及区间端点值的符号，该题属于难题．