Question

给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量

OA

和

OB

，点C在以O为圆心、|

OA

|为半径的劣弧AB上运动，若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x、y∈R，则x²+（y-1）²的最大值为

 

．

Answer 1

考点：向量数乘的运算及其几何意义

专题：平面向量及应用,直线与圆

分析：由题意，点C在单位圆的劣弧AB上运动，由圆的方程设出C点的坐标，把要求最值的量用参数表示出来，根据三角函数公式和角的范围，求出最值．

解答： 解：∵点C在以O为圆心，以1为半径的劣弧AB上运动，
∴设圆的方程为

x=cosθ y=sinθ

，其中θ∈[0°，90°]；
∴（x-1）²+y²=（cosθ-1）²+sin²θ=2-2cosθ，
∵θ∈[0°，90°]，
∴cosθ∈[0，1]，
∴当θ=90°时，cosθ=0，（x-1）²+y²取得最大值 2．
故答案为2．

点评：本题考查了圆的参数方程以及向量在几何中的应用与求三角函数最值的问题，是综合性题目．