Question

8．已知函数f（x）=x²-2tx+1，在区间[2，5]上单调且有最大值8．求实数t的值．

Answer 1

分析 根据所给的二次函数的性质，写出对于对称轴所在的区间不同时，对应的函数的最大值，写成一个分段函数形式．

解答 解：函数f（x）=x²-2tx+1图象的对称轴是x=t，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5，
若t≤2，则函数f（x）在区间[2.5]上是增函数，
故f（x）_max=f（5）=25-10t+1=8解得t=$\frac{9}{5}$；
若t≥5，函数f（x）在区间[2，5]上是减函数，
此时f（x）_max=f（2）=4-4t+1=8，
解得t=-$\frac{3}{4}$，与t≥5矛盾，
综上所述，t=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查了函数存在的充要条件以及二次函数最大值的求法，解题时要学会分类讨论，做到不重不漏．