Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，对角线AC与BD交于点O，M为OC中点．

（1）求证：BD⊥PM
（2）若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，

又BD平面ABCD，∴BD⊥PA，

∵底面ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，

又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，

又PM平面PAC，

∴BD⊥PM．

（2）解：过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，

因为DO⊥平面PAC，由三垂线定理可得DH⊥PM，

所以∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，

设PA=b，AD=4，

∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=120°，

∴OD=2 ，OM=1，AM=3，且 = ，

从而OH= = = ，

∴tan∠OHD= = ，

所以16b2=144，解得b=3．（舍负值）

∴PA的长为3．

则 = ．

【解析】（1）根据线面垂直的判定，先证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的性质即可证明BD⊥PM．（2）过O作OH⊥PM交PM于H，连HD，则∠OHD为A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，即可求出 的值．
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．