Question

2．设命题p：实数x满足：x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x=（$\frac{1}{2}$）^m-1，其中m∈（1，2）．
（1）若a=$\frac{1}{4}$，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=$\frac{1}{4}$代入求出p为真时，x的范围，由指数函数的图象和性质，求出q为真时，x的范围，再由p∧q为真，求出两个范围的交集，可得实数x的取值范围；
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，即$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围．

解答 解：（1）解x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0得：a＜x＜3a，
当 m∈（1，2）时，x=（$\frac{1}{2}$）^m-1∈（$\frac{1}{2}$，1）…（2分）
故a=$\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{3}{4}$，
∵p∧q为真为真，
∴p真且q真…（3分）
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{4}＜x＜\frac{3}{4}\\ \frac{1}{2}＜x＜1\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{3}{4}$…（5分）
（2）￢p是￢q的充分不必要条件，
即p是q的必要不充分条件；…（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}a≤\frac{1}{2}\\ 3a≥1\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{3}≤a≤\frac{1}{2}$…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次不等式的解法，指数函数的图象和性质，难度中档．