Question

13．已知函数f（x）=2^ax-2，g（x）=a（x-2a）（x+2-a），a∈R且a≠0．
（Ⅰ）若{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，求实数a的值；
（Ⅱ）若{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过方程的根，结合已知条件求解即可．
（Ⅱ）解法1：利用{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，通过当a＞0时，当a＜0时，结合函数的图象验证求解即可．
（Ⅱ）解法2：由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R，验证当a＞0时，不符合题意，当a＜0时，讨论若f（x）＜0，若g（x）＜0，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）={2^{ax}}-2=0得x=\frac{1}{a}$…（2分）
g（x）=a（x-2a）（x+a-2）=0得x=2a，x=2-a…（4分）
∵{x|f（x）g（x）=0}={1，2}，
∴$\frac{1}{a}=1或\frac{1}{a}=2$…（6分）
经检验a=1符合题意，∴a=1…（7分）
（Ⅱ）解法1：设由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R
当a＞0时，x→+∞总有f（x）＞0，g（x）＞0不符合题意…（9分）
当a＜0时，由f（x），g（x）的图象可得f（x）＜0或g（x）＜0成立则$2a＞\frac{1}{a}$…（13分）
∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a＜0$…（15分）
（Ⅱ）解法2：设由于{x|f（x）＜0或g（x）＜0}=R
当a＞0时，x→+∞总有f（x）＞0，g（x）＞0不符合题意…（9分）
当a＜0时，若f（x）＜0，则$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$
若g（x）＜0，则x∈（2-a，+∞）∪（-∞，2a）
则$\frac{1}{a}＜2a$…（13分）∴$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a＜0$
综上$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜a＜0$…（15分）

点评 本题考查函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．