Question

3．已知函数f（x）=xln（x+$\sqrt{2a+{x}^{2}}$（a＞0）为偶函数．
（1）求a的值；
（2）求g（x）=ax²+2x+1在区间[-6，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；
（2）求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出g（x）在值域即可．

解答 解：（1）由题意知f（x）是偶函数，
∵a＞0，∴$\sqrt{2a{+x}^{2}}$＞$\sqrt{{x}^{2}}$=|x|≥-x，
所以函数f（x）定义域为R，
则有：f（1）=f（-1），
 即ln（1+$\sqrt{2a+1}$）=-ln（-1+$\sqrt{2a+1}$），
∴1+$\sqrt{2a+1}$=$\frac{1}{\sqrt{2a+1}-1}$，
 即2a+1-1=1，a=$\frac{1}{2}$；
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$（x+2）²-1，
开口向上，对称轴为x=-2，
∴g（x）关于x在[-6，-2]上递减，则g（-2）≤g（x）≤g（-6），
g（x） 关于x在（-2，3]上递增，则g（-2）＜g（x）≤g（3），
又g（-2）=-1，g（3）=$\frac{23}{2}$，g（-6）=7，
g（x）的值域为[-1，$\frac{23}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．