Question

8．已知函数f（x）=log₄（4^x+1）+2kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）=m有解，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数是偶函数，利用定义推出方程求解即可．
（2）通过方程有解，求出函数的最值，即可推出m的范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由函数f（x）是偶函数可知，f（-x）=f（x），
∴log₄（4^x+1）+2kx=log₄（4^-x+1）-2kx，即log₄$\frac{4x+1}{4-x+1}$=-4kx，
∴log₄4^x=-4kx，∴x=-4kx，即（1+4k）x=0，对一切x∈R恒成立，
∴k=-$\frac{1}{4}$．…（6分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=log₄$\frac{4x+1}{2x}$=log₄（2^x+$\frac{1}{2x}$），
∵2^x＞0，∴2^x+$\frac{1}{2x}$≥2，∴m≥log₄2=$\frac{1}{2}$．
故要使方程f（x）=m有解，
m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．